RPSC 2nd Grade Mathematics Answer Key 2026 PDF Download in Hindi, Complete Solved Question Paper

Q.1 यदि x=2+3x=2​+3​ है, तो xx का न्यूनतम बहुपद (minimal polynomial) पूर्णांक गुणांकों के साथ क्या होगा?

(A) $x^4-10x^2+1=0$x4−10x2+1=0
(B) $x^4-5x^2+6=0$x4−5x2+6=0
(C) $x^2-5=0$x2−5=0
(D) $x^4-10x^2-1=0$x4−10x2−1=0

Ans. (A) x4−10×2+1=0x4−10x2+1=0

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Q.2 यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, यदि दो धनात्मक पूर्णांक aa और bb (a>ba>b) हैं, तो HCF(a,b)HCF(a,b) ज्ञात करने की प्रक्रिया कब समाप्त होती है?

(A) जब शेषफल 1 हो
(B) जब शेषफल 0 हो
(C) जब भाजक 1 हो
(D) जब भाज्य 0 हो

Ans. (B) जब शेषफल 0 हो

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Q.3 एक त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं। इसके अंतर्वृत्त (incircle) की त्रिज्या क्या है?

(A) 3 सेमी
(B) 4 सेमी
(C) 5 सेमी
(D) 6 सेमी

Ans. (B) 4 सेमी

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Q.4 यदि एक वृत्त की जीवा केंद्र से 5 सेमी की दूरी पर है और वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है, तो जीवा की लंबाई क्या है?

(A) 12 सेमी
(B) 24 सेमी
(C) 10 सेमी
(D) 26 सेमी

Ans. (B) 24 सेमी

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Q.5 दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25:36 है। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?

(A) 5:6
(B) 25:36
(C) $\sqrt{5}:\sqrt{6}$5​:6​
(D) 6:5

Ans. (A) 5:6

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Q.6 चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) में सम्मुख कोणों का योग क्या होता है?

(A) 90°
(B) 180°
(C) 270°
(D) 360°

Ans. (B) 180°

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Q.7 यदि बहुपद p(x)=x3−6×2+11x−6p(x)=x3−6x2+11x−6 के शून्यक α,β,γα,β,γ हैं, तो αβ+βγ+γααβ+βγ+γα का मान क्या है?

(A) 6
(B) 11
(C) -6
(D) -11

Ans. (B) 11

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Q.8 श्रेणी 1,3,9,27,…1,3,9,27,… का nnवां पद क्या है?

(A) $3^{n-1}$3n−1
(B) $3^n$3n
(C) $3n$3n
(D) $n^3$n3

Ans. (A) 3n−13n−1

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Q.9 द्विपद प्रमेय (1+x)n(1+x)n के प्रसार में मध्य पद (middle term) कौन सा होगा यदि nn सम है?

(A) $(n\mathrm{/}2+1)$(n/2+1)वां पद
(B) $(n\mathrm{/}2)$(n/2)वां पद
(C) $(n+1)$(n+1)वां पद
(D) $(n\mathrm{/}2-1)$(n/2−1)वां पद

Ans. (A) (n/2+1)(n/2+1)वां पद

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Q.10 यदि आव्यूह A=[1234]A=[13​24​] है, तो AA का सारणिक (determinant) क्या है?

(A) 2
(B) -2
(C) 10
(D) -10

Ans. (B) -2

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Q.11 सममित आव्यूह (Symmetric Matrix) AA के लिए कौन सा कथन सत्य है?

(A) $A^T=-A$AT=−A
(B) $A^T=A$AT=A
(C) $A^{-1}=A$A−1=A
(D) $A^2=I$A2=I

Ans. (B) AT=AAT=A

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Q.12 यदि समुच्चय A={1,2,3}A={1,2,3} और B={3,4,5}B={3,4,5} हैं, तो A∩BA∩B क्या है?

(A) $\{1,2,3,4,5\}${1,2,3,4,5}
(B) $\{3\}${3}
(C) $\mathrm{\varnothing }$∅
(D) $\{1,2\}${1,2}

Ans. (B) {3}{3}

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Q.13 डी-मॉर्गन के नियम (De-Morgan’s Law) के अनुसार, (A∪B)′(A∪B)′ बराबर है:

(A) $A^{\mathrm{\prime }}\cup B^{\mathrm{\prime }}$A′∪B′
(B) $A^{\mathrm{\prime }}\cap B^{\mathrm{\prime }}$A′∩B′
(C) $A\cap B$A∩B
(D) $A^{\mathrm{\prime }}\cup B$A′∪B

Ans. (B) A′∩B′A′∩B′

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Q.14 फलन f(x)=∣x∣f(x)=∣x∣ किस प्रकार का फलन है?

(A) केवल सम फलन
(B) केवल विषम फलन
(C) सम और विषम दोनों
(D) न सम न विषम

Ans. (A) केवल सम फलन

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Q.15 sin⁡(15∘)sin(15∘) का मान क्या है?

(A) $\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$22​3​−1​
(B) $\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$22​3​+1​
(C) $\frac{1}{2}$21​
(D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$23​​

Ans. (A) 3−12222​3​−1​

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Q.16 त्रिकोणमितीय समीकरण sin⁡x=1/2sinx=1/2 का व्यापक हल (general solution) क्या है?

(A) $n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$nπ+(−1)n6π​
(B) $2n\pi \pm \frac{\pi }{6}$2nπ±6π​
(C) $n\pi +\frac{\pi }{6}$nπ+6π​
(D) $2n\pi +\frac{\pi }{3}$2nπ+3π​

Ans. (A) nπ+(−1)nπ6nπ+(−1)n6π​

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Q.17 बिंदुओं (1,2)(1,2) और (4,6)(4,6) के बीच की दूरी क्या है?

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6

Ans. (C) 5

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Q.18 सरल रेखा 3x+4y=123x+4y=12 की ढाल (slope) क्या है?

(A) $3\mathrm{/}4$3/4
(B) $-3\mathrm{/}4$−3/4
(C) $4\mathrm{/}3$4/3
(D) $-4\mathrm{/}3$−4/3

Ans. (B) −3/4−3/4

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Q.19 परवलय (Parabola) y2=4axy2=4ax की नाभि (focus) के निर्देशांक क्या हैं?

(A) $(a,0)$(a,0)
(B) $(-a,0)$(−a,0)
(C) $(0,a)$(0,a)
(D) $(0,-a)$(0,−a)

Ans. (A) (a,0)(a,0)

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Q.20 दीर्घवृत (Ellipse) x2a2+y2b2=1a2x2​+b2y2​=1 की उत्केंद्रता (eccentricity) ee का सूत्र क्या है?

(A) $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$e=1−a2b2​​
(B) $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$e=1+a2b2​​
(C) $e=\frac{b}{a}$e=ab​
(D) $e=\frac{a}{b}$e=ba​

Ans. (A) e=1−b2a2e=1−a2b2​​

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Q.21 त्रिविम ज्यामिति में दो बिंदुओं (x1,y1,z1)(x1​,y1​,z1​) और (x2,y2,z2)(x2​,y2​,z2​) के बीच की दूरी क्या है?

(A) $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​
(B) $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​
(C) $\mathrm{\mid }{x}_2-x_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{y}_2-y_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}_2-z_1\mathrm{\mid }$∣x2​−x1​∣+∣y2​−y1​∣+∣z2​−z1​∣
(D) $(x_2-x_1)+(y_2-y_1)+(z_2-z_1)$(x2​−x1​)+(y2​−y1​)+(z2​−z1​)

Ans. (B) (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​

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Q.22 सीमा lim⁡x→0sin⁡xxlimx→0​xsinx​ का मान क्या है?

(A) 0
(B) 1
(C) $\mathrm{\infty }$∞
(D) परिभाषित नहीं

Ans. (B) 1

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Q.23 फलन f(x)=x2f(x)=x2 का अवकलज (derivative) क्या है?

(A) $x$x
(B) $2x$2x
(C) $x^3\mathrm{/}3$x3/3
(D) $2$2

Ans. (B) 2×2x

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Q.24 रोले के प्रमेय (Rolle’s Theorem) के लिए कौन सी शर्त आवश्यक नहीं है?

(A) फलन अंतराल $[a,b]$[a,b] में सतत हो
(B) फलन अंतराल $(a,b)$(a,b) में अवकलनीय हो
(C) $f(a)=f(b)$f(a)=f(b)
(D) फलन रैखिक हो

Ans. (D) फलन रैखिक हो

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Q.25 ∫exdx∫exdx का मान क्या है?

(A) $e^x+C$ex+C
(B) $x{e}^{x-1}+C$xex−1+C
(C) $\ln x+C$lnx+C
(D) $e^{2x}\mathrm{/}2+C$e2x/2+C

Ans. (A) ex+Cex+C

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Q.26 वक्र y=x2y=x2 और रेखा y=xy=x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

(A) $1\mathrm{/}6$1/6 वर्ग इकाई
(B) $1\mathrm{/}3$1/3 वर्ग इकाई
(C) $1\mathrm{/}2$1/2 वर्ग इकाई
(D) $1$1 वर्ग इकाई

Ans. (A) 1/61/6 वर्ग इकाई

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Q.27 यदि a⃗=i^+j^a=i^+j^​ और b⃗=i^−j^b=i^−j^​ हैं, तो a⃗⋅b⃗a⋅b का मान क्या है?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1

Ans. (A) 0

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Q.28 दो सदिशों a⃗a और b⃗b के सदिश गुणनफल (cross product) a⃗×b⃗a×b की दिशा क्या होती है?

(A) $\vec{a}$a की दिशा में
(B) $\vec{b}$b की दिशा में
(C) $\vec{a}$a और $\vec{b}$b दोनों के लंबवत
(D) $\vec{a}$a और $\vec{b}$b के समतल में

Ans. (C) a⃗a और b⃗b दोनों के लंबवत

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Q.29 आंकड़ों 2,4,6,8,102,4,6,8,10 का माध्य (mean) क्या है?

(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8

Ans. (C) 6

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Q.30 यदि एक पास को फेंका जाता है, तो 5 या उससे अधिक संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

(A) $1\mathrm{/}3$1/3
(B) $1\mathrm{/}2$1/2
(C) $2\mathrm{/}3$2/3
(D) $1\mathrm{/}6$1/6

Ans. (A) 1/31/3

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Q.31 बेयस प्रमेय (Bayes’ Theorem) किससे संबंधित है?

(A) सशर्त प्रायिकता
(B) संयुक्त प्रायिकता
(C) स्वतंत्र घटनाएं
(D) यादृच्छिक चर

Ans. (A) सशर्त प्रायिकता

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Q.32 द्विपद बंटन (Binomial Distribution) में माध्य और प्रसरण का अनुपात क्या होता है यदि n=10,p=0.5n=10,p=0.5?

(A) 1
(B) 2
(C) 0.5
(D) 4

Ans. (B) 2

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Q.33 सम्मिश्र संख्या z=1+iz=1+i का मापांक (modulus) क्या है?

(A) 1
(B) $\sqrt{2}$2​
(C) 2
(D) $\sqrt{3}$3​

Ans. (B) 22​

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Q.34 इकाई के घनमूल (cube roots of unity) का योग क्या है?

(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 3

Ans. (A) 0

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Q.35 प्रथम nn प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग क्या है?

(A) $\frac{n(n+1)}{2}$2n(n+1)​
(B) $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$6n(n+1)(2n+1)​
(C) ${\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$[2n(n+1)​]2
(D) $\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$4n2(n+1)2​

Ans. (B) n(n+1)(2n+1)66n(n+1)(2n+1)​

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Q.36 यदि AA और BB दो असंयुक्त समुच्चय हैं, तो P(A∪B)P(A∪B) क्या है?

(A) $P(A)+P(B)$P(A)+P(B)
(B) $P(A)-P(B)$P(A)−P(B)
(C) $P(A)\times P(B)$P(A)×P(B)
(D) $P(A)\mathrm{/}P(B)$P(A)/P(B)

Ans. (A) P(A)+P(B)P(A)+P(B)

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Q.37 वृत्त x2+y2=r2x2+y2=r2 पर बिंदु (x1,y1)(x1​,y1​) पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

(A) $x{x}_1+y{y}_1=r^2$xx1​+yy1​=r2
(B) $x{x}_1-y{y}_1=r^2$xx1​−yy1​=r2
(C) $x\mathrm{/}{x}_1+y\mathrm{/}{y}_1=r^2$x/x1​+y/y1​=r2
(D) $x+y=r$x+y=r

Ans. (A) xx1+yy1=r2xx1​+yy1​=r2

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Q.38 हाइपरबोला x2a2−y2b2=1a2x2​−b2y2​=1 की अनंतस्पर्शी (asymptotes) क्या हैं?

(A) $y=\pm \frac{b}{a}x$y=±ab​x
(B) $y=\pm \frac{a}{b}x$y=±ba​x
(C) $x=\pm a$x=±a
(D) $y=\pm b$y=±b

Ans. (A) y=±baxy=±ab​x

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Q.39 त्रिविम में समतल का सामान्य समीकरण क्या है?

(A) $ax+by+cz+d=0$ax+by+cz+d=0
(B) $ax+by+c=0$ax+by+c=0
(C) $x\mathrm{/}a+y\mathrm{/}b+z\mathrm{/}c=1$x/a+y/b+z/c=1
(D) $x^2+y^2+z^2=r^2$x2+y2+z2=r2

Ans. (A) ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0

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Q.40 लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय (Lagrange’s Mean Value Theorem) के अनुसार, यदि f(x)f(x) अंतराल [a,b][a,b] में सतत और (a,b)(a,b) में अवकलनीय है, तो कम से कम एक c∈(a,b)c∈(a,b) ऐसा होगा कि:

(A) $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$f′(c)=0
(B) $f^{\mathrm{\prime }}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$f′(c)=b−af(b)−f(a)​
(C) $f(c)=0$f(c)=0
(D) $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)=0$f′′(c)=0

Ans. (B) f′(c)=f(b)−f(a)b−af′(c)=b−af(b)−f(a)​

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SECTION II: Undergraduate Level (Advanced Mathematics) (35 Questions)

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Q.41 एक समूह (Group) GG में यदि प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम स्वयं है (a2=ea2=e), तो GG क्या है?

(A) चक्रीय समूह
(B) अबेलियन समूह
(C) सरल समूह
(D) प्रसामान्य उपसमूह

Ans. (B) अबेलियन समूह

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Q.42 लैग्रेंज के प्रमेय (Lagrange’s Theorem) के अनुसार, परिमित समूह GG के किसी भी उपसमूह HH की कोटि (order):

(A) $G$G की कोटि से अधिक होती है
(B) $G$G की कोटि को विभाजित करती है
(C) $G$G की कोटि का गुणज होती है
(D) $G$G की कोटि से असंबंधित होती है

Ans. (B) GG की कोटि को विभाजित करती है

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Q.43 वास्तविक संख्याओं के समुच्चय RR में कौन सा गुण ‘पूर्ण क्रमित क्षेत्र’ (Complete Ordered Field) को परिभाषित करता है?

(A) सुप्रीमम गुण (Supremum Property)
(B) आर्किमिडीजियन गुण
(C) सघनता गुण
(D) सभी उपरोक्त

Ans. (A) सुप्रीमम गुण (Supremum Property)

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Q.44 श्रेणी ∑1n2∑n21​ की अभिसरणता (convergence) की जांच किस परीक्षण से की जाती है?

(A) तुलना परीक्षण (Comparison Test)
(B) अनुपात परीक्षण (Ratio Test)
(C) मूल परीक्षण (Root Test)
(D) इंटीग्रल परीक्षण

Ans. (A) तुलना परीक्षण (Comparison Test)

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Q.45 यदि कोई सम्मिश्र फलन f(z)f(z) विश्लेषिक (analytic) है, तो यह किस समीकरण को संतुष्ट करता है?

(A) लाप्लास समीकरण
(B) कॉशी-रीमैन समीकरण
(C) पॉइसन समीकरण
(D) हीट समीकरण

Ans. (B) कॉशी-रीमैन समीकरण

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Q.46 ध्रुवीय निर्देशांक में वक्र r=a(1+cos⁡θ)r=a(1+cosθ) क्या दर्शाता है?

(A) वृत्त
(B) कार्डियोइड (Cardioid)
(C) सर्पिल
(D) परवलय

Ans. (B) कार्डियोइड (Cardioid)

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Q.47 यूलर के प्रमेय (Euler’s Theorem) के अनुसार, यदि f(x,y)f(x,y) घात nn का समघातीय फलन है, तो:

(A) $x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=nf$x∂x∂f​+y∂y∂f​=nf
(B) $x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}-y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=nf$x∂x∂f​−y∂y∂f​=nf
(C) $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=n$∂x∂f​+∂y∂f​=n
(D) $x^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}+y^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}=n^{2}f$x2∂x2∂2f​+y2∂y2∂2f​=n2f

Ans. (A) x∂f∂x+y∂f∂y=nfx∂x∂f​+y∂y∂f​=nf

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Q.48 लैग्रेंज के अज्ञात गुणक विधि (Method of Undetermined Multipliers) का उपयोग किसके लिए किया जाता है?

(A) अवकल समीकरण हल करने के लिए
(B) प्रतिबंधों के अधीन फलनों के उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ ज्ञात करने के लिए
(C) समाकलन के लिए
(D) श्रेणी के अभिसरण के लिए

Ans. (B) प्रतिबंधों के अधीन फलनों के उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ ज्ञात करने के लिए

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Q.49 बीटा फलन (Beta Function) B(m,n)B(m,n) और गामा फलन (Gamma Function) Γ(n)Γ(n) के बीच संबंध क्या है?

(A) $B(m,n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(m)\mathrm{\Gamma }(n)}{\mathrm{\Gamma }(m+n)}$B(m,n)=Γ(m+n)Γ(m)Γ(n)​
(B) $B(m,n)=\mathrm{\Gamma }(m+n)$B(m,n)=Γ(m+n)
(C) $B(m,n)=\mathrm{\Gamma }(m)+\mathrm{\Gamma }(n)$B(m,n)=Γ(m)+Γ(n)
(D) $B(m,n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(m+n)}{\mathrm{\Gamma }(m)\mathrm{\Gamma }(n)}$B(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n)​

Ans. (A) B(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n)B(m,n)=Γ(m+n)Γ(m)Γ(n)​

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Q.50 अवकल समीकरण dydx=f(x)g(y)dxdy​=f(x)g(y) किस प्रकार का है?

(A) रैखिक
(B) पृथक्करणीय चर (Separable Variables)
(C) समघातीय
(D) बर्नौली

Ans. (B) पृथक्करणीय चर (Separable Variables)

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Q.51 क्लेरोट का अवकल समीकरण (Clairaut’s Equation) किस रूप में होता है?

(A) $y=px+f(p)$y=px+f(p)
(B) $y=mx+c$y=mx+c
(C) $p^2+xp+y=0$p2+xp+y=0
(D) $\frac{dy}{dx}+Py=Q$dxdy​+Py=Q

Ans. (A) y=px+f(p)y=px+f(p)

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Q.52 सदिश क्षेत्र F⃗F के लिए, यदि ∇⋅F⃗=0∇⋅F=0 है, तो F⃗F क्या कहलाता है?

(A) संभवनीय (Irrotational)
(B) असंपीड्य (Solenoidal)
(C) संरक्षी
(D) अचर

Ans. (B) असंपीड्य (Solenoidal)

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Q.53 स्टोक्स के प्रमेय (Stoke’s Theorem) का संबंध किससे है?

(A) रेखा समाकलन और पृष्ठ समाकलन
(B) पृष्ठ समाकलन और आयतन समाकलन
(C) रेखा समाकलन और आयतन समाकलन
(D) केवल रेखा समाकलन

Ans. (A) रेखा समाकलन और पृष्ठ समाकलन

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Q.54 गोले (Sphere) x2+y2+z2=a2x2+y2+z2=a2 का आयतन क्या है?

(A) $\frac{4}{3}\pi a^3$34​πa3
(B) $4\pi a^2$4πa2
(C) $\pi a^3$πa3
(D) $\frac{3}{4}\pi a^3$43​πa3

Ans. (A) 43πa334​πa3

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Q.55 शंकु (Cone) ax2+by2+cz2=0ax2+by2+cz2=0 के तीन परस्पर लंबवत जनरेटर होने की शर्त क्या है?

(A) $a+b+c=0$a+b+c=0
(B) $abc=1$abc=1
(C) $a^2+b^2+c^2=0$a2+b2+c2=0
(D) $a=b=c$a=b=c

Ans. (A) a+b+c=0a+b+c=0

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Q.56 स्थैतिकी में लामी का प्रमेय (Lami’s Theorem) किससे संबंधित है?

(A) तीन संतुलित बल
(B) दो संतुलित बल
(C) चार संतुलित बल
(D) गुरुत्वाकर्षण

Ans. (A) तीन संतुलित बल

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Q.57 प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion) में अधिकतम परास (maximum range) किस कोण पर प्राप्त होता है?

(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°

Ans. (B) 45°

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Q.58 रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) में ‘सुसंगत क्षेत्र’ (Feasible Region) क्या होता है?

(A) सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समुच्चय
(B) उद्देश्य फलन का अधिकतम मान
(C) शून्य समुच्चय
(D) अनंत समुच्चय

Ans. (A) सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समुच्चय

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Q.59 सिम्प्लेक्स विधि (Simplex Method) का उपयोग किसके लिए किया जाता है?

(A) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए
(B) अवकल समीकरण हल करने के लिए
(C) समाकलन के लिए
(D) सांख्यिकी के लिए

Ans. (A) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए

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Q.60 परिवहन समस्या (Transportation Problem) में ‘उत्तर-पश्चिम कोण नियम’ (North-West Corner Rule) किसके लिए उपयोग किया जाता है?

(A) प्रारंभिक आधारभूत सुसंगत हल ज्ञात करने के लिए
(B) इष्टतम हल ज्ञात करने के लिए
(C) द्वैत समस्या बनाने के लिए
(D) प्रतिबंध लिखने के लिए

Ans. (A) प्रारंभिक आधारभूत सुसंगत हल ज्ञात करने के लिए

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Q.61 न्यूटन-रैफसन विधि (Newton-Raphson Method) का सूत्र क्या है?

(A) $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\mathrm{\prime }}(x_n)}$xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​
(B) $x_{n+1}=x_n+\frac{f(x_n)}{f^{\mathrm{\prime }}(x_n)}$xn+1​=xn​+f′(xn​)f(xn​)​
(C) $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}$xn+1​=2xn​​
(D) $x_{n+1}=x_n^2$xn+1​=xn2​

Ans. (A) xn+1=xn−f(xn)f′(xn)xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​

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Q.62 सिम्पसन का 1/3 नियम (Simpson’s 1/3 Rule) संख्यात्मक समाकलन के लिए कब लागू होता है?

(A) जब उप-अंतरालों की संख्या सम हो
(B) जब उप-अंतरालों की संख्या विषम हो
(C) जब उप-अंतरालों की संख्या 3 की गुणज हो
(D) किसी भी स्थिति में

Ans. (A) जब उप-अंतरालों की संख्या सम हो

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Q.63 लाग्रेंज अंतर्वेशन सूत्र (Lagrange Interpolation Formula) का उपयोग कब किया जाता है?

(A) जब अंतराल समान हों
(B) जब अंतराल असमान हों
(C) केवल द्विघात फलनों के लिए
(D) केवल रैखिक फलनों के लिए

Ans. (B) जब अंतराल असमान हों

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Q.64 गॉस के अपवर्जन विधि (Gauss Elimination Method) का उपयोग किसके लिए किया जाता है?

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए
(B) अवकल समीकरण हल करने के लिए
(C) समाकलन के लिए
(D) श्रेणी के लिए

Ans. (A) रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए

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Q.65 भारतीय ज्ञान प्रणाली में ‘शुल्ब सूत्र’ किससे संबंधित है?

(A) खगोल विज्ञान
(B) ज्यामिति और वेदी निर्माण
(C) बीजगणित
(D) चिकित्सा

Ans. (B) ज्यामिति और वेदी निर्माण

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Q.66 ‘आर्यभट्ट’ ने किस ग्रंथ की रचना की थी?

(A) सिद्धांत शिरोमणि
(B) आर्यभटीय
(C) ब्रह्मस्फुट सिद्धांत
(D) लीलावती

Ans. (B) आर्यभटीय

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Q.67 शून्य (Zero) की अवधारणा को सबसे पहले किस भारतीय गणितज्ञ ने स्पष्ट रूप से परिभाषित किया?

(A) आर्यभट्ट
(B) ब्रह्मगुप्त
(C) भास्कराचार्य
(D) वराहमिहिर

Ans. (B) ब्रह्मगुप्त

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Q.68 यदि एक समूह GG की कोटि 7 है, तो GG किस प्रकार का समूह होगा?

(A) अबेलियन नहीं
(B) चक्रीय और अबेलियन
(C) सरल नहीं
(D) प्रसामान्य उपसमूह रहित

Ans. (B) चक्रीय और अबेलियन

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Q.69 यदि f(z)f(z) इकाई डिस्क में विश्लेषिक है और ∣f(z)∣≤1∣f(z)∣≤1, तो ∣f′(0)∣∣f′(0)∣ का अधिकतम मान क्या है?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) $\mathrm{\infty }$∞

Ans. (B) 1

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Q.70 वक्र y=x3y=x3 की वक्रता (curvature) मूल बिंदु पर क्या है?

(A) 0
(B) 1
(C) $\mathrm{\infty }$∞
(D) 3

Ans. (A) 0

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Q.71 गामा फलन Γ(1/2)Γ(1/2) का मान क्या है?

(A) 1
(B) $\sqrt{\pi }$π​
(C) $\pi$π
(D) $1\mathrm{/}2$1/2

Ans. (B) ππ​

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Q.72 अवकल समीकरण y′′+y=0y′′+y=0 का व्यापक हल क्या है?

(A) $A\cos x+B\sin x$Acosx+Bsinx
(B) $A{e}^x+B{e}^{-x}$Aex+Be−x
(C) $Ax+B$Ax+B
(D) $A\cosh x+B\sinh x$Acoshx+Bsinhx

Ans. (A) Acos⁡x+Bsin⁡xAcosx+Bsinx

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Q.73 यदि ∇×F⃗=0∇×F=0, तो F⃗F कैसा होता है?

(A) असंपीड्य
(B) संभवनीय (Irrotational) और संरक्षी
(C) अचर
(D) शून्य

Ans. (B) संभवनीय (Irrotational) और संरक्षी

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Q.74 गॉस के डाइवर्जेंस प्रमेय (Gauss Divergence Theorem) का संबंध किससे है?

(A) पृष्ठ समाकलन और आयतन समाकलन
(B) रेखा समाकलन और पृष्ठ समाकलन
(C) केवल आयतन समाकलन
(D) केवल पृष्ठ समाकलन

Ans. (A) पृष्ठ समाकलन और आयतन समाकलन

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Q.75 शंकु x2+y2=z2tan⁡2αx2+y2=z2tan2α का अर्ध-शीर्ष कोण (semi-vertical angle) क्या है?

(A) $\alpha$α
(B) $2\alpha$2α
(C) $\alpha \mathrm{/}2$α/2
(D) $90-\alpha$90−α

Ans. (A) αα

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SECTION III: Teaching Methods (25 Questions)

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Q.76 NCF 2005 के अनुसार, गणित शिक्षण का मुख्य उद्देश्य क्या है?

(A) गणितज्ञ बनना
(B) गणितीय चिंतन और तर्कशक्ति का विकास
(C) केवल गणना करना
(D) परीक्षा पास करना

Ans. (B) गणितीय चिंतन और तर्कशक्ति का विकास

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Q.77 ब्लूम के टैक्सोनॉमी में ‘विश्लेषण’ (Analysis) किस स्तर पर आता है?

(A) निम्न स्तर
(B) मध्य स्तर
(C) उच्च स्तर
(D) सर्वोच्च स्तर

Ans. (C) उच्च स्तर

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Q.78 ‘हेयुरिस्टिक विधि’ (Heuristic Method) के प्रवर्तक कौन हैं?

(A) जॉन ड्यूई
(B) एच. ई. आर्मस्ट्रांग
(C) किलपैट्रिक
(D) मोंटेसरी

Ans. (B) एच. ई. आर्मस्ट्रांग

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Q.79 ‘प्रोजेक्ट विधि’ (Project Method) किस शिक्षण दर्शन पर आधारित है?

(A) यथार्थवाद
(B) प्रगतिवाद (Pragmatism)
(C) आदर्शवाद
(D) प्रकृतिवाद

Ans. (B) प्रगतिवाद (Pragmatism)

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Q.80 हर्बर्ट के पाठ योजना (Herbertian Lesson Plan) के चरणों में ‘प्रस्तावना’ (Introduction) का उद्देश्य क्या है?

(A) नया ज्ञान देना
(B) पूर्व ज्ञान को सक्रिय करना
(C) गृहकार्य देना
(D) परीक्षा लेना

Ans. (B) पूर्व ज्ञान को सक्रिय करना

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Q.81 मॉरिसन की इकाई योजना (Morrison Unit Plan) के कितने चरण हैं?

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6

Ans. (C) 5

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Q.82 TPCK का पूर्ण रूप क्या है?

(A) Technological Pedagogical Content Knowledge
(B) Technical Physics Chemistry Knowledge
(C) Teaching Process Content Knowledge
(D) None of the above

Ans. (A) Technological Pedagogical Content Knowledge

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Q.83 ‘निदानात्मक परीक्षण’ (Diagnostic Test) का उद्देश्य क्या है?

(A) ग्रेड देना
(B) छात्रों की विशिष्ट कठिनाइयों की पहचान करना
(C) रैंकिंग करना
(D) प्रोत्साहित करना

Ans. (B) छात्रों की विशिष्ट कठिनाइयों की पहचान करना

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Q.84 ‘360 डिग्री आकलन’ (360 Degree Assessment) में कौन शामिल होता है?

(A) केवल शिक्षक
(B) केवल छात्र
(C) शिक्षक, सहकर्मी, स्वयं और अभिभावक
(D) केवल प्रधानाचार्य

Ans. (C) शिक्षक, सहकर्मी, स्वयं और अभिभावक

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Q.85 गणित शिक्षण में ‘आगमन विधि’ (Inductive Method) का उदाहरण क्या है?

(A) सूत्र देकर प्रश्न हल करना
(B) उदाहरणों से सामान्य नियम निकालना
(C) परिभाषा याद करना
(D) प्रमेय सिद्ध करना

Ans. (B) उदाहरणों से सामान्य नियम निकालना

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Q.86 ‘निगमन विधि’ (Deductive Method) किस प्रकार की होती है?

(A) विशिष्ट से सामान्य
(B) सामान्य से विशिष्ट
(C) अज्ञात से ज्ञात
(D) अनुभव से

Ans. (B) सामान्य से विशिष्ट

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Q.87 गणित प्रयोगशाला (Mathematics Laboratory) का मुख्य लाभ क्या है?

(A) महंगा होना
(B) ठोस वस्तुओं के माध्यम से अवधारणाओं को समझना
(C) केवल खेलना
(D) समय बर्बाद करना

Ans. (B) ठोस वस्तुओं के माध्यम से अवधारणाओं को समझना

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Q.88 ‘प्रोग्राम्ड लर्निंग’ (Programmed Learning) किस सिद्धांत पर आधारित है?

(A) गेस्टाल्ट
(B) व्यवहारवाद (Behaviorism)
(C) संज्ञानात्मक
(D) रचनावादी

Ans. (B) व्यवहारवाद (Behaviorism)

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Q.89 बेलन (Cylinder) x2+y2=a2x2+y2=a2 का समीकरण किस अक्ष के परितः है?

(A) X-अक्ष
(B) Y-अक्ष
(C) Z-अक्ष
(D) कोई नहीं

Ans. (C) Z-अक्ष

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Q.90 संवेग संरक्षण (Conservation of Momentum) किस न्यूटन के नियम का परिणाम है?

(A) पहला
(B) दूसरा
(C) तीसरा
(D) गुरुत्वाकर्षण

Ans. (C) तीसरा

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Q.91 रैखिक प्रोग्रामिंग में ‘द्वैत’ (Duality) का क्या अर्थ है?

(A) प्रत्येक LPP से संबद्ध एक अन्य LPP
(B) दो हल
(C) दो चर
(D) दो प्रतिबंध

Ans. (A) प्रत्येक LPP से संबद्ध एक अन्य LPP

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Q.92 ट्रैपेज़ोइडल नियम (Trapezoidal Rule) में त्रुटि किसके समानुपाती होती है?

(A) $h$h
(B) $h^2$h2
(C) $h^3$h3
(D) $h^4$h4

Ans. (B) h2h2

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Q.93 न्यूटन की अग्र अंतर्वेशन सूत्र (Newton’s Forward Interpolation) कब उपयोगी है?

(A) जब $x$x सारणी के प्रारंभ के निकट हो
(B) जब $x$x सारणी के अंत के निकट हो
(C) जब $x$x मध्य में हो
(D) किसी भी स्थिति में

Ans. (A) जब xx सारणी के प्रारंभ के निकट हो

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Q.94 ‘लीलावती’ ग्रंथ के लेखक कौन हैं?

(A) आर्यभट्ट
(B) ब्रह्मगुप्त
(C) भास्कराचार्य द्वितीय
(D) वराहमिहिर

Ans. (C) भास्कराचार्य द्वितीय

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Q.95 गणित की प्रकृति कैसी है?

(A) केवल तार्किक
(B) केवल रचनात्मक
(C) तार्किक और रचनात्मक दोनों
(D) केवल याद करने वाली

Ans. (C) तार्किक और रचनात्मक दोनों

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Q.96 ‘समूह समाजोक्ति’ (Social Recitation) विधि का उपयोग किसमें किया जाता है?

(A) गणित
(B) भाषा
(C) विज्ञान
(D) इतिहास

Ans. (B) भाषा

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Q.97 ‘ब्रेन स्टॉर्मिंग’ (Brain Storming) का उद्देश्य क्या है?

(A) एकल उत्तर खोजना
(B) रचनात्मक विचारों की बाढ़ लाना
(C) अनुशासन बनाए रखना
(D) परीक्षा लेना

Ans. (B) रचनात्मक विचारों की बाढ़ लाना

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Q.98 गणित शिक्षक का सबसे महत्वपूर्ण गुण क्या है?

(A) कठोर होना
(B) विषय की गहन समझ और संचार कौशल
(C) केवल बोर्ड पर लिखना
(D) घर का काम देना

Ans. (B) विषय की गहन समझ और संचार कौशल

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Q.99 ‘उपलब्धि परीक्षण’ (Achievement Test) का मुख्य उद्देश्य क्या है?

(A) भविष्य की क्षमता मापना
(B) अधिगमित ज्ञान और कौशल का मापन
(C) व्यक्तित्व मापना
(D) बुद्धि मापना

Ans. (B) अधिगमित ज्ञान और कौशल का मापन

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Q.100 गणित शिक्षण में ‘स्थानीयकरण’ (Contextualization) का क्या अर्थ है?

(A) गणित को स्थानीय संदर्भ और उदाहरणों से जोड़ना
(B) गणित को अन्य विषयों से अलग रखना
(C) केवल पाठ्यपुस्तक का पालन करना
(D) गणित को भाषा से जोड़ना

Ans. (A) गणित को स्थानीय संदर्भ और उदाहरणों से जोड़ना